10. 진자

진자는 중심점(pivot, anchor)의 암(arm)에 매달려 있는 추입니다.
진자가 정지해 있을 때는 수직으로 늘어집니다. 그러나 정지 상태에서 일정한 각도로 들어 올렸다 놓으면 호 모양을 그리며 앞 뒤로 흔들립니다.

중력과 장력

위 그림은 움직이는 진자에 작용하는 중력과 장력을 나타냅니다.
진자가 흔들릴 때 진자의 암과 추는 중심점(pivot)을 중심으로 회전합니다.
암이 추와 중심점을 연결하지 않으면 추는 중력의 영향을 받아 지면에 떨어지겠지만, 고정된 암은 2번째 힘은 장력 을 생성합니다.

각속도와 각가속도

진자 운동의 알짜 힘

진자의 암은 고정된 길이를 갖기 때문에 변하는 것은 각도 뿐입니다.
진자의 운동은 암의 각도 변화를 나타내는 각가속도와 각속도로 설명할 수 있습니다.
- 여기서는 편의상 에너지 보존 법칙, 운동량, 구심력 등 다른 물리적 개념은 무시합니다.
진자의 각가속도를 계산하기 위해서는 뉴턴의 제2운동법칙을 사용하면 됩니다.
진자의 팔이 수직이 되도록 캔버스를 돌리고, 삼각형을 그려볼까요.
새로운 y축을 기반으로 $F_g$ $F_{g}$ 벡터를 x와 y 구성요소로 나누어 봅니다. 중력을 빗변으로 하는 직각 삼각형이 보이죠.
- $F_{gy}$ 는 장력 $T$ 와 반대되는 힘을 나타냅니다.
- $F_{gx}$ 는 진자의 암에 수직인 힘으로, 추를 회전시키는 힘입니다.
진자가 운동하면 y축(암)은 운동 방향에 항상 수직일 것입니다. 그러니 우리는 운동 방향을 결정하기 위해 장력과 $F_{gy}$ 를 무시하고, $F_{gx}$ 라는 알짜 힘 에만 집중하면 됩니다.
중요한 점은, 그림과 같이 장력과 정지위치 간 각도 $\theta$ 와 우리가 구하려는 직각삼각형의 각도 $\theta$ 각 같다는 것입니다.
극 좌표 변환을 사용하면,
- $\sin(\theta)=\frac{F_{gx}}{F_g}$
- $F_{gx}=\sin(\theta)\times F_g$
이제 $F_{gx}$ 를 진자(pendulum)의 힘 $F_p$ 이라고 명명할게요.

진자 운동의 각가속도

캔버스를 다시 원래대로 돌려볼까요. 진자의 알짜 힘이 추를 어떻게 움직이는 지 더 명확히 하기 위해 $F_p$ 도 추의 중심으로 옮겨 볼게요.

이제 위 공식에 진자의 각가속도를 적용해 봅시다. 뉴턴 제2법칙 ( $F=M\times A$ )에 따라,
$\text{진자의 각가속도} = \sin(\theta) \times \text{중력 가속도}$ $진자의 각가속도 = sin (θ) \times 중력 가속도$
- 여기서 중력 가속도는 $9.8m/s^2$ 이지만, p5에서는 의미가 없죠.
- 우리는 graivty 라는 임의의 정수로 가속도의 크기를 조정할 것입니다.
- 참고로 각가속도는 가속도 $A$ 와 구분하기 위해 $\alpha$ 라고 표기됩니다.
$\alpha = \sin(\theta) \times 중력$
잠깐 암에 대한 가정을 다시 생각해 보면, 진자의 암은 금속봉이거나 고무줄일 수 있고요, 길이, 질량 등 다른 변수가 작용할 수 있습니다.
- 여기서는 진자의 암은 단단한 봉으로 절대 휘지 않으며 질량은 무시할 정도로 작다고 가정합니다.
- 길이도 $1$ 로 가정합니다. 실제로는 토크와 관성 모멘트 때문에 암의 길이는 가속도에 영향을 미치지만요.
토크( $\tau$ ): 물체에 작용하는 회전력을 측정한 것이며 추의 질량과 팔의 길이에 비례합니다( $Mr$ ).
관성 모멘트( $I$ ): 진자의 중심점을 중심으로 진자 회전이 어려운 정도를 나타내며 추의 무게, 암 길이의 제곱에 비례합니다 ( $Mr^2$ ).
뉴턴 제2법칙 ( $F=M\times A$ $F = M \times A$ )에 따르면, 회전 반발력 $\tau = I \times \alpha$ $τ = I \times α$ 이 존재합니다.
- 각가속도 $\alpha$ 를 얻기 위해 $\alpha = \frac{\tau}{I}$ 라는 식을 얻을 수 있죠.
- 토크와 관성 모멘트 식을 대입하면, $\alpha=\frac{Mr}{Mr^2}$ 혹은 ${\frac{1}{r}}$ 이 됩니다.
- 이에 따르면, 각가속도는 추의 질량과는 무관합니다!
- 이것은 갈릴레오의 가속도에 관한 피사의 사탑 실험과 동일한 결과입니다.
  - 실험에서 다른 물체는 질량과 관계없이 동일한 속도로 떨어졌습니다.
- 추의 질량은 각가속도에 영향을 주지 않고, 암의 길이만이 영향을 미칩니다.
최종 공식은, $\alpha = \frac{중력 \times \sin(\theta)}{r}$

Pendulum 클래스 캡슐화

이제 다음 진자의 속성을 Pendulum 클래스에 적용해 보겠습니다.
- 암의 길이
- 각도
- 각속도
- 각가속도

  constructor(){
    this.r;
    this.angle;
    this.angleVelocity;
    this.angleAcceleration;
  }

update() 에서는 진자의 각도를 업데이트 하는 메서드를 작성해야 합니다.
각가속도의 계산에는 $-1$ $- 1$ 을 곱해야 합니다.
- 진자가 정지 위치의 오른쪽에 있을 때 각도는 양수이므로 각도의 sin 값도 양수인데, 중력은 반대 방향인 정지 위치로 끌어당겨야 하죠.
- 진자가 정지 위치의 왼쪽에 있을 때 각도는 음수이므로 각도의 sin 값도 음수인데, 이 경우 당기는 힘은 양수여야 합니다.
- 따라서 어떤 겨우든 $-1$ 을 곱해야 합니다.

update(){
  let gravity = 0.4;
  this.angleAcceleration = (-1 * gravity * sin(this.angle)) / this.r;
  this.angleVelocity += this.angleAcceleration;
  this.angle += this.angleVelocity;
}

이제 display() 로 진자를 그려 봅시다.

생성자에서 중심점(pivot), 암의 길이(r), 추(bob) 변수를 설정합니다.

$\theta$ 가 일반 직각삼각형과 반대로 윗각에 있으므로 x, y를 바꿔주면 됩니다.

this.pivot = createVector(100, 10);
this.r = 125;
this.bob = createVector(r * sin(this.angle), r * cos(this.angle));
this.bob.add(this.pivot); // 중심점으로부터 추를 위치시킴

실제 진자는 중심점에서 일정한 마찰력과 공기 저항을 경험합니다. 현재 상태로는 진자가 영원히 흔들리게 돼요.
- 좀 더 현실적인 진자 운동을 위해 각속도를 약간 줄여봅시다.
- 애니메이션의 각 프레임에 대해 속도를 1% 만큼 줄입시다.
```
this.angleVelocity *= 0.99;
```

예제 코드 3.11: 흔들리는 추

let pendulum;
function setup() {
  createCanvas(640, 240);
  pendulum = new Pendulum(width / 2, 0, 175); // 진자 객체 생성, 시작 위치와 팔 길이를 인자로 전달
}
function draw() {
  background(255);
  pendulum.update(); // 진자 객체의 상태를 업데이트
  pendulum.show(); // 진자 객체를 화면에 출력
}
class Pendulum {
  constructor(x, y, r) {
    this.pivot = createVector(x, y); // 진자의 회전축 위치
    this.bob = createVector(); // 진자 추의 위치
    this.r = r; // 진자의 팔 길이
    this.angle = PI / 4; // 진자의 팔 각도
    this.angleVelocity = 0; // 각도 변화율
    this.angleAcceleration = 0; // 각가속도
    this.damping = 0.99; // 감쇠 계수
    this.ballr = 24; // 추의 반지름
  }
  update() {
    let gravity = 0.4; // 중력 가속도
    this.angleAcceleration = ((-1 * gravity) / this.r) * sin(this.angle); // 각가속도 공식
    this.angleVelocity += this.angleAcceleration; // 각속도 업데이트
    this.angle += this.angleVelocity; // 각도 업데이트
    this.angleVelocity *= this.damping; // 각속도에 감쇠 적용
  }
  show() {
    this.bob.set(this.r * sin(this.angle), this.r * cos(this.angle)); // 극좌표에서 직교좌표로 변환하여 추의 위치 계산
    this.bob.add(this.pivot); // 회전축 위치에 추의 위치 더하기
    stroke(0); // 팔 색상 설정
    line(this.pivot.x, this.pivot.y, this.bob.x, this.bob.y); // 회전축에서 추까지 선 그리기
    fill(127); // 추 색상 설정
    circle(this.bob.x, this.bob.y, this.ballr * 2); // 추 그리기
  }
}

연습 문제 3.15

여러 개의 진자를 연결해, 한 진자의 추가 다음 진자의 회전축 역할을 하도록 만들어 보세요. 그런데 이렇게 하면 흥미로운 결과를 얻을 수 있겠지만, 실제 물리학적으로는 전혀 정확하지 않을 것입니다. 실제 이중 진자를 시뮬레이션하려면 정교한 방정식이 필요합니다. 이중 진자에 대한 자세한 내용은 Wolfram Research의 이중 진자나 이중 진자 코딩 영상을 참고하시기 바랍니다.

연습 문제 3.16

삼각함수를 사용해 위 그림에 묘사된 수직 반발력(normal force) (썰매가 놓인 경사면에 수직인 힘)의 크기를 계산하는 방법은 뭘까요? 중력( $F_{gravity}$ )의 크기는 알려진 상수라고 가정할 수 있습니다. 먼저 직각 삼각형을 찾아보세요. 수직 반발력은 결국 중력의 한 성분과 같고 반대 방향입니다.

연습 문제 3.17

마찰력이 있는 경사면을 따라 미끄러지는 상자의 시뮬레이션을 만들어 보세요. 앞서 언급했듯 마찰력의 크기는 수직 반발력에 비례합니다.

생태계 프로젝트

생물체 중 하나를 선택해 그 움직임에 진동을 포함시켜 보세요. 예제 3.7의 Oscillator 클래스를 모델로 사용할 수 있습니다. 그러나 Oscillator 객체는 단일 지점(캔버스 중앙)을 중심으로 진동합니다. 이동하는 지점을 중심으로 진동하도록 해보세요.

다시 말해, 위치, 속도, 가속도에 따라 움직이는 생물체를 설계해 보세요. 그러나 그 생물체는 정적인 모양이 아니라 진동하는 물체입니다.

움직임의 속도와 진동 속도를 연결해 보는 것은 어떨까요? 나비의 날갯짓이나 곤충의 다리를 생각해 보세요. 생물체의 내부 메커니즘(진동)이 그 운동성을 구동하는 것처럼 보이게 할 수 있을까요?

2장의 attraction과 진동을 결합한 예제는 책 웹사이트를 참고하세요.

10. 진자

중력과 장력​

각속도와 각가속도​

진자 운동의 알짜 힘​

진자 운동의 각가속도​

Pendulum 클래스 캡슐화​

예제 코드 3.11: 흔들리는 추​

생태계 프로젝트​